Toolbox "Equations Fonctionnelles et Géométrie"

Intervenants

  • Johan DEBAYLE (responsable) / debayle@emse.fr / bureau C3-03
  • Yann GAVET
  • Jean-Charles PINOLI
  • Eric TOUBOUL
  • Professeurs de l'Université Jean Monnet de Saint-Etienne

Description générale

Objectifs et Description

 Les équations fonctionnelles, équations aux dérivées partielles et équations intégrales, sont au cœur de la grande majorité des modèles mathématiques régissant les phénomènes physiques, et par suite les processus industriels dans lesquels ces phénomènes sont impliqués. Elles sont donc très utilisées par l’ingénieur (notamment en R&D), et le chercheur en sciences pour l’ingénieur.

L’analyse du comportement de ces équations (existence et unicité de solutions…) et leur résolution (analytique, numérique) repose sur des « outils » mathématiques (espaces fonctionnels), qui donnent un cadre adapté à leur étude.

La géométrie, une des branches fondamentale des mathématiques, est très présente dans de nombreuses sciences pour l’ingénieur, pour la physique en général (géométrie différentielle et intégrale), et aussi en analyse des images et des formes (géométrie stochastique).

 A l’issue de cette toolbox, l’élève maîtrisera les principaux outils d’analyse fonctionnelle (espaces de Hilbert, espaces de Sobolev, théorèmes d’existence, d’unicité, analyse spectrale…) utiles à la résolution des équations fonctionnelles, et connaîtra les principales méthodes de résolution numérique de ces équations. Il saura également manipuler les principaux aspects de la géométrie moderne, utiliser concepts et résultats pour résoudre les problèmes concrets, comme par exemple l’extraction d’information d’images bruitées en traitement d’image et la modélisation et la simulation de la distribution d’objets spatiaux. 

 Note importante : Cette toolbox servira à valider une partie des Masters « Modélisation Mathématique et Applications»  et « Modélisation, Analyse et Traitement des Images et des Formes » auxquels les élèves peuvent s’inscrire en troisième année du cycle ICM pour obtenir un double diplôme. Pour plus de renseignements, s’adresser à Jean-Charles Pinoli (Master MATIF) et Eric Touboul (Master MMA)

Cours et structure

Cette toolbox se divise en deux modules de 39hrs

Module 1 (Eric Touboul) : Analyse Fonctionnelle et EDP (18h de cours et 18h de TD/TP + 2 examens de 3h)

Analyse Fonctionnelle et Opérateurs

L’objectif de cette UP est d’enseigner les points d’analyse fonctionnelle nécessaires à l’étude de équations aux dérivées partielles et à leur résolution numérique.

  • Analyse fonctionnelle, espaces de Sobolev, inégalité de Poincaré, théorème de Rellich
  • Distributions
  • Transformée de Fourier
  • Analyse spectrale
  • Applications

Equations aux Dérivées Partielles

On abordera sur un plan théorique et pratique les méthodes numériques de résolution comme les différences finies, les volumes finis  et les éléments finis.

  • Les EDPs de la physique, nature mathématique des EDPs
  • Méthodes analytiques de résolution.
  • Théorèmes d’existence et d’unicité des solutions
  • Formulations faible ou variationnelle d’EDPs
  • Méthode des différences finies, convergence, stabilité
  • Méthode des éléments finis, théorèmes de convergence
  • Perturbations régulières et singulières
  • Applications numériques : différences finies, volumes finis, éléments finis

Module 2 (Johan Debayle) : Equations Intégrales et Géométrie  (18 h de cours et 18 h de TD/TP + 2 examens)

Equations Intégrales et Variationnelles

  • Algèbres de fonctions et structures d’ordre
  • Analyse morphologique
  • Analyse multi-échelle
  • Analyse variationnelle
  • Champs aléatoires
  • Fonctions à variations bornées
  • Level sets
  • Cartes de distances

Géométrie

  • Rappels de topologie
  • Géométrie convexe
  • Géométrie morphologique
  • Géométrie topologique
  • Géométrie intégrale
  • Géométrie différentielle
  • Géométrie stochastique
  • Stéréologie
  • Granulométrie
  • Morphométrie
  • Géométrie fractale
  • Texturalité